4. Постройте гиперболу x²/36 − y²/25 = 1. Найдите асимптоты и эксцентриситет.

У гиперболы \(\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=1\) параметры a = 6 и b = 5. Её вершины: (±6; 0), а ветви направлены вдоль оси x.

Асимптоты гиперболы: \(y=\pm\frac{b}{a}x\), то есть \(y=\pm\frac{5}{6}x\).

Для фокального параметра c² = a² + b² = 36 + 25 = 61, поэтому c = √61. Эксцентриситет \(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{61}}{6}\).

Схема построения: отметьте вершины (±6; 0), проведите асимптоты \(y=\pm\frac{5}{6}x\); ветви гиперболы проходят через вершины и приближаются к этим асимптотам.

Ответ: асимптоты \(y=\pm\frac{5}{6}x\); эксцентриситет \(\frac{\sqrt{61}}{6}\).