3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ B₁D равна 20 см и составляет с боковой гранью AA₁B₁B угол arcsin 1/2. AA₁ = 8√3 см. Найдите объём призмы.

Пусть \(AB=x\), а расстояние между параллельными гранями \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\) равно \(AD=y\). Высота \(AA_1=8\sqrt{3}\) см.

Угол между диагональю и гранью равен \(\arcsin\frac12\). Перпендикулярная грани составляющая диагонали равна y, поэтому \(\sin\alpha=\frac{y}{20}=\frac12\), откуда \(y=10\) см.

По теореме Пифагора для пространственной диагонали: \(x^2+y^2+(8\sqrt{3})^2=20^2\). Тогда \(x^2+100+192=400\), значит \(x^2=108\) и \(x=6\sqrt{3}\) см.

Объём: \(V=xy\cdot AA_1=6\sqrt{3}\cdot10\cdot8\sqrt{3}=1440\text{ см}^3\).

Ответ: 1440 см³.