3. Дан равнобедренный ∆ABC, BO — биссектриса (рис 3). Доказать: ∆ABO= ∆OBC. Найдите AB, если ∠A = 60°, AO = 8 см.

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников:

1. △ABC — равнобедренный, значит, AB = BC.
2. BO — биссектриса, значит, ∠ABO = ∠CBO.
3. Сторона BO — общая для треугольников △ABO и △CBO.
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: AB = BC, ∠ABO = ∠CBO, BO — общая сторона), следует, что △ABO = △CBO.

2. Нахождение AB:

1. В равнобедренном треугольнике △ABC углы при основании равны: ∠A = ∠C.
2. Так как ∠A = 60°, то ∠C = 60°.
3. Сумма углов в треугольнике △ABC равна 180°. Значит, ∠ABC = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°.
4. Так как все углы треугольника △ABC равны 60°, то △ABC — равносторонний.
5. Следовательно, AB = BC = AC.
6. BO — биссектриса равностороннего треугольника, она также является медианой и высотой.
7. Значит, AO = OC = 1/2 * AC.
8. Нам дано, что AO = 8 см.
9. Тогда AC = 2 * AO = 2 * 8 см = 16 см.
10. Так как треугольник равносторонний, AB = AC = 16 см.

Ответ: AB = 16 см.