3. Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагональ \(B_1D\) равна 4 см и составляет с основанием \(ABCD\) угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Проекция диагонали \(B_1D\) на плоскость основания — диагональ \(BD\). В прямоугольном треугольнике \(B_1BD\):

\(BD=4\cos60^\circ=2\) см, \(BB_1=4\sin60^\circ=2\sqrt3\) см.

Основание — квадрат. Если его сторона \(a\), то \(a\sqrt2=BD=2\), откуда \(a=\sqrt2\) см.

Площадь полной поверхности:

\(S=2a^2+4a\cdot BB_1=2\cdot2+4\sqrt2\cdot2\sqrt3=4+8\sqrt6\) см².

Ответ: \(4+8\sqrt6\) см².