3. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ B₁D равна 4 см и составляет с основанием ABCD угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Правильная четырёхугольная призма имеет квадрат в основании и является прямой.

Проекция диагонали \(B_1D\) на основание — диагональ квадрата \(BD\). Поэтому:

\[BD=4\cos 60^\circ=4\cdot\frac12=2\text{ см}.\]

Высота призмы:

\[h=4\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\text{ см}.\]

Если \(a\) — сторона квадратного основания, то \(a\sqrt2=2\), значит \(a=\sqrt2\) см.

Площадь основания:

\[S_{\text{осн}}=a^2=2\text{ см}^2.\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=4a\cdot h=4\sqrt2\cdot2\sqrt3=8\sqrt6\text{ см}^2.\]

Площадь полной поверхности:

\[S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2\cdot2+8\sqrt6=4+8\sqrt6\text{ см}^2.\]

Ответ: \(4+8\sqrt6\) см².