3. Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагональ \(B_1D\) равна 4 см и составляет с основанием \(ABCD\) угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Обозначим сторону квадратного основания через \(a\), высоту призмы через \(h\). Проекция диагонали \(B_1D\) на плоскость основания — диагональ \(BD\) квадрата.

Из угла между прямой и плоскостью получаем \(h=4\sin60^\circ=2\sqrt{3}\) см, а \(BD=4\cos60^\circ=2\) см.

Диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2}\), значит \(a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) см.

Площадь полной поверхности:

\(S_{полн}=2a^2+4ah=2\cdot2+4\cdot\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3}=4+8\sqrt{6}\) см².

Ответ: \(4+8\sqrt{6}\) см².