3. Дано: ABCD — прямоугольник, ∠CAD = 30°, AC = 20 см. Найти P_AOB, где O — точка пересечения диагоналей.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OB=\frac{AC}{2}=10\) см.

В прямоугольном треугольнике ACD гипотенуза \(AC=20\) см, а \(\angle CAD=30°\). Поэтому \(AD=AC\cos30°=10\sqrt3\), \(CD=AC\sin30°=10\). Следовательно, \(AB=CD=10\) см.

Периметр треугольника AOB: \(P_{AOB}=OA+OB+AB=10+10+10=30\) см.

Ответ: 30 см.