3. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие эти прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

Пусть данные прямые a и b пересекаются в точке O. Они определяют плоскость α.

Возьмём любую прямую l, которая пересекает обе прямые и не проходит через O. Точки пересечения l с a и b различны: если бы это была одна и та же точка, она лежала бы на обеих прямых и совпадала бы с O, тогда l проходила бы через O.

Обе точки пересечения принадлежат α. Поскольку через две различные точки проходит единственная прямая, l целиком лежит в α. Значит, все такие прямые лежат в одной плоскости — плоскости α.