4. Изобразите сечение тетраэдра ABCD, все рёбра которого равны 1, проходящее через вершины A, D и середину ребра BC. Найдите его площадь.

Обозначим через M середину BC. Плоскость сечения проходит через A, D и M, поэтому сечение — треугольник ADM.

Выберем координаты регулярного тетраэдра: A=(1/2,0,0), D=(-1/2,0,0), B=(0,1/2,1/√2), C=(0,-1/2,1/√2). Расстояние между любыми двумя вершинами равно 1. Тогда M=(0,0,1/√2).

AD=1. Прямая AD лежит на оси x, поэтому высота треугольника ADM, опущенная из M на AD, равна 1/√2. Следовательно, S_ADM=(1/2)·1·(1/√2)=√2/4.

На схеме выделено сечение ADM; M — середина ребра BC.

Ответ: площадь сечения равна √2/4.