3. Даны точки A(-1;5;3), B(-1;-3;9), C(3;-2;6). Доказать, что треугольник ABC прямоугольный.

Решение:

Чтобы доказать, что треугольник прямоугольный, мы можем проверить выполняется ли теорема Пифагора для длин сторон треугольника. Найдем квадраты длин сторон:

$$ AB^2 = (-1 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (9 - 3)^2 = 0^2 + (-8)^2 + 6^2 = 0 + 64 + 36 = 100 $$

$$ BC^2 = (3 - (-1))^2 + (-2 - (-3))^2 + (6 - 9)^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26 $$

$$ AC^2 = (3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2 = 4^2 + (-7)^2 + 3^2 = 16 + 49 + 9 = 74 $$

Проверим теорему Пифагора: $$ AB^2 = BC^2 + AC^2 $$

$$ 100 = 26 + 74 $$

$$ 100 = 100 $$

Так как выполняется теорема Пифагора, треугольник ABC прямоугольный, причем прямой угол находится при вершине C.

Ответ: Доказано.