4. Найти угол между прямыми AB и CD, если A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;2;2), D(2;-3;1).

Решение:

Найдем векторы прямых AB и CD:

$$ \vec{AB} = B - A = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1) $$

$$ \vec{CD} = D - C = (2 - 2; -3 - 2; 1 - 2) = (0; -5; -1) $$

Найдем косинус угла между векторами по формуле:

$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} $$

Скалярное произведение:

$$ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1)(0) + (0)(-5) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1 $$

Длины векторов:

$$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} $$

$$ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 25 + 1} = \sqrt{26} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{52}} = \frac{1}{2\sqrt{13}} $$

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Так как косинус положительный, угол острый.

$$ \alpha = \arccos{\left(\frac{1}{\sqrt{52}}\right)} $$

Ответ: \arccos{\left(\frac{1}{\sqrt{52}}\right)}