3. Даны точки A(−1; 5; 3), B(−1; −3; 9), C(3; −2; 6). Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Найдём квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками в пространстве:

\(AB^2=(-1+1)^2+(5+3)^2+(3-9)^2=0+64+36=100\).

\(AC^2=(3+1)^2+(-2-5)^2+(6-3)^2=16+49+9=74\).

\(BC^2=(3+1)^2+(-2+3)^2+(6-9)^2=16+1+9=26\).

Так как \(AC^2+BC^2=74+26=100=AB^2\), по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный. Сторона \(AB\) — гипотенуза, поэтому прямой угол находится при вершине C.

Ответ: \(\angle ACB=90^\circ\).