4. Даны точки A(0; 1; 2), B(√2; 1; 2), C(√2; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.

Вычислим квадраты длин сторон:

\(AB^2=(\sqrt2-0)^2+(1-1)^2+(2-2)^2=2\).

\(BC^2=(\sqrt2-\sqrt2)^2+(2-1)^2+(1-2)^2=2\).

\(CD^2=(0-\sqrt2)^2+(2-2)^2+(1-1)^2=2\).

\(DA^2=(0-0)^2+(1-2)^2+(2-1)^2=2\). Значит, все стороны равны.

Проверим перпендикулярность соседних сторон при B. \(\overrightarrow{AB}=(\sqrt2;0;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;1;-1)\), а их скалярное произведение равно \(\sqrt2\cdot0+0\cdot1+0\cdot(-1)=0\). Следовательно, \(AB\perp BC\). Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Ответ: ABCD — квадрат.