3. Даны точки A(2; 1; −8), B(1; −5; 0), C(8; 1; −4). а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

а) Найдём квадраты длин боковых сторон:

\[AB^2=(1-2)^2+(-5-1)^2+(0-(-8))^2=1+36+64=101,\]

\[BC^2=(8-1)^2+(1-(-5))^2+(-4-0)^2=49+36+16=101.\]

Следовательно, \(AB=BC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\).

б) Средняя линия, соединяющая середины сторон \(AB\) и \(BC\), параллельна основанию \(AC\) и равна его половине.

\[AC=\sqrt{(8-2)^2+(1-1)^2+(-4-(-8))^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

\[m=\frac{AC}{2}=\sqrt{13}.\]

Ответ: треугольник равнобедренный; длина средней линии равна \(\sqrt{13}\).