4. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если A(1; 2; −3), B(0; 1; 1), C(3; −2; −1), D(4; −1; −5).

Докажем, что диагонали четырёхугольника имеют общую середину. Найдём середину диагонали \(AC\):

\[M_{AC}\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+(-2)}{2};\frac{-3+(-1)}{2}\right)=M_{AC}(2;0;-2).\]

Найдём середину диагонали \(BD\):

\[M_{BD}\left(\frac{0+4}{2};\frac{1+(-1)}{2};\frac{1+(-5)}{2}\right)=M_{BD}(2;0;-2).\]

Середины диагоналей совпадают. Значит, диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.