3. Даны точки A(2; 1; −8), B(1; −5; 0), C(8; 1; −4). а) Покажите, что треугольник ABC — равнобедренный. б) Найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

а) Найдём квадраты длин сторон:

\[AB^2=(1-2)^2+(-5-1)^2+(0-(-8))^2=1+36+64=101.\]

\[BC^2=(8-1)^2+(1-(-5))^2+(-4-0)^2=49+36+16=101.\]

Так как \(AB^2=BC^2\), то \(AB=BC\). Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.

б) Боковые стороны — \(AB\) и \(BC\), поэтому средняя линия, соединяющая их середины, параллельна основанию \(AC\) и равна половине его длины.

\[AC=\sqrt{(8-2)^2+(1-1)^2+(-4-(-8))^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]

\[m=\frac{AC}{2}=\sqrt{13}.\]

Ответ: а) \(AB=BC\), треугольник равнобедренный; б) \(\sqrt{13}\).