3. Даны точки A(3; 1), B(−1; 4), C(2; −3), D(−2; −4). 1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD. 2) Найдите координаты и длину вектора m = 3AC − 4BD.

1) Координаты вектора находим как разность координат его конца и начала:

\(\overrightarrow{AC}=(2-3;\,-3-1)=(-1;\,-4)\), поэтому \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}\).

\(\overrightarrow{BD}=(-2-(-1);\,-4-4)=(-1;\,-8)\), поэтому \(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-1)^2+(-8)^2}=\sqrt{65}\).

2) Подставим координаты векторов и выполним действия по координатам:

\(\vec m=3(-1;\,-4)-4(-1;\,-8)=(-3;\,-12)-(-4;\,-32)=(1;\,20)\).

Тогда \(|\vec m|=\sqrt{1^2+20^2}=\sqrt{401}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=(-1;\,-4)\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{17}\); \(\overrightarrow{BD}=(-1;\,-8)\), \(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{65}\); \(\vec m=(1;\,20)\), \(|\vec m|=\sqrt{401}\).