3) Даны точки \(A(-6; 13; 4)\), \(B(-8; 3; -3)\), \(C(-2; 2; 8)\). Определите вид \(\triangle ABC\). Найдите его площадь и радиус описанной около него окружности.

Решение:

1. Находим длины сторон треугольника:
   AB: \(\sqrt{(-8 - (-6))^2 + (3 - 13)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 100 + 49} = \sqrt{153}\)
   BC: \(\sqrt{(-2 - (-8))^2 + (2 - 3)^2 + (8 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + 11^2} = \sqrt{36 + 1 + 121} = \sqrt{158}\)
   AC: \(\sqrt{(-2 - (-6))^2 + (2 - 13)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-11)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 121 + 16} = \sqrt{153}\)
2. Определяем вид треугольника:
   Так как \(AB = AC = \sqrt{153}\) и \(AB
   eq BC\), то треугольник является равнобедренным.
3. Проверяем, является ли треугольник прямоугольным (по теореме Пифагора):
   \(AB^2 = 153\)
   \(BC^2 = 158\)
   \(AC^2 = 153\)
   \(AB^2 + AC^2 = 153 + 153 = 306
   eq 158\) - не прямоугольный.
4. Находим площадь треугольника:
   Для равнобедренного треугольника площадь можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} a h\), где \(a\) - основание, \(h\) - высота. Основание \(BC = \sqrt{158}\).
   Найдем высоту \(h_a\) к основанию \(BC\).
   Высота \(h_a\) из точки \(A\) к основанию \(BC\).
   Найдем длину медианы (и высоты в равнобедренном треугольнике) к основанию \(BC\).
   Найдем середину основания \(BC\): \(M_{BC} = \left(\frac{-8 + (-2)}{2}; \frac{3 + 2}{2}; \frac{-3 + 8}{2}\right) = \left(-5; \frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right)\)
   Найдем длину высоты \(AM_{BC}\): \(h = \sqrt{(-5 - (-6))^2 + (\frac{5}{2} - 13)^2 + (\frac{5}{2} - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-\frac{21}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{441}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{4 + 441 + 9}{4}} = \sqrt{\frac{454}{4}} = \frac{\sqrt{454}}{2}\)
   Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{158} \cdot \frac{\sqrt{454}}{2} = \frac{\sqrt{158 \cdot 454}}{4} = \frac{\sqrt{71732}}{4} = \frac{2\sqrt{17933}}{4} = \frac{\sqrt{17933}}{2}\)
5. Находим радиус описанной окружности:
   Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\), где \(a\) - боковая сторона, \(\alpha\) - угол между боковой стороной и основанием.
   Или по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\).
   \(R = \frac{\sqrt{153} \cdot \sqrt{158} \cdot \sqrt{153}}{4 \cdot \frac{\sqrt{17933}}{2}} = \frac{153 \cdot \sqrt{158}}{2 \sqrt{17933}} = \frac{153 \cdot \sqrt{158}}{2 \sqrt{158 \cdot 2.87}}\)
6. Пересчитываем площадь и радиус, используя векторное произведение для площади:
   Вектор \(\vec{AB} = (-8 - (-6); 3 - 13; -3 - 4) = (-2; -10; -7)\)
   Вектор \(\vec{AC} = (-2 - (-6); 2 - 13; 8 - 4) = (4; -11; 4)\)
   Площадь \(S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\)
   \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -10 & -7 \\ 4 & -11 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(-40 - 77) - \vec{j}(-8 - (-28)) + \vec{k}(22 - (-40)) = -117\vec{i} - 20\vec{j} + 62\vec{k}\)
   \(S = \frac{1}{2} \sqrt{(-117)^2 + (-20)^2 + 62^2} = \frac{1}{2} \sqrt{13689 + 400 + 3844} = \frac{1}{2} \sqrt{17933}\)
7. Радиус описанной окружности:
   \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{\sqrt{153} \cdot \sqrt{158} \cdot \sqrt{153}}{4 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{17933}} = \frac{153 \sqrt{158}}{2 \sqrt{17933}}\).
   \(\sqrt{17933} \approx 133.91\)
   \(R \approx \frac{153 \cdot \sqrt{158}}{2 \cdot 133.91} \approx \frac{153 \cdot 12.57}{267.82} \approx \frac{1923.21}{267.82} \approx 7.18\)

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный. Его площадь равна $$\frac{\sqrt{17933}}{2}$$. Радиус описанной окружности равен $$\frac{153 \sqrt{158}}{2 \sqrt{17933}}$$.