4) Дан отрезок \(KP\), на котором отмечены точки \(M\) и \(N\), таким образом, что точка \(M\) является серединой отрезка \(KP\), а точка \(N\) — серединой отрезка \(KM\). Известны координаты точек \(K(-5; 6; -11)\) и \(N(3; -12; 1)\). Найдите координаты точек \(M\) и \(P\), а также длину отрезка \(NP\).

Решение:

1. Обозначим координаты точек:
   \(K = (-5; 6; -11)\)
   \(N = (3; -12; 1)\)
   \(M = (x_M; y_M; z_M)\)
   \(P = (x_P; y_P; z_P)\)
2. Найдем координаты точки M:
   Так как N — середина отрезка KM, то:
   \(3 = \frac{-5 + x_M}{2} \Rightarrow 6 = -5 + x_M \Rightarrow x_M = 11\)
   \(-12 = \frac{6 + y_M}{2} \Rightarrow -24 = 6 + y_M \Rightarrow y_M = -30\)
   \(1 = \frac{-11 + z_M}{2} \Rightarrow 2 = -11 + z_M \Rightarrow z_M = 13\)
   Итак, \(M = (11; -30; 13)\)
3. Найдем координаты точки P:
   Так как M — середина отрезка KP, то:
   \(11 = \frac{-5 + x_P}{2} \Rightarrow 22 = -5 + x_P \Rightarrow x_P = 27\)
   \(-30 = \frac{6 + y_P}{2} \Rightarrow -60 = 6 + y_P \Rightarrow y_P = -66\)
   \(13 = \frac{-11 + z_P}{2} \Rightarrow 26 = -11 + z_P \Rightarrow z_P = 37\)
   Итак, \(P = (27; -66; 37)\)
4. Найдем длину отрезка NP:
   \(NP = \sqrt{(27 - 3)^2 + (-66 - (-12))^2 + (37 - 1)^2}\)
   \(NP = \sqrt{24^2 + (-54)^2 + 36^2}\)
   \(NP = \sqrt{576 + 2916 + 1296}\)
   \(NP = \sqrt{4788}\)
   \(NP = \sqrt{36 \cdot 133} = 6\sqrt{133}\)

Ответ: Координаты точки M: (11; -30; 13). Координаты точки P: (27; -66; 37). Длина отрезка NP: $$6\sqrt{133}$$.