3. Даны три неколлинеарных вектора $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Найдите значения $p$ и $q$, при которых векторы $\vec m=p\vec a+q\vec b+8\vec c$ и $\vec n=\vec a+p\vec b+q\vec c$ коллинеарны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Даны три неколлинеарных вектора $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Найдите значения $p$ и $q$, при которых векторы…$ Фото задания

3. Даны три неколлинеарных вектора $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Найдите значения $p$ и $q$, при которых векторы $\vec m=p\vec a+q\vec b+8\vec c$ и $\vec n=\vec a+p\vec b+q\vec c$ коллинеарны.

Accepted Answer

Так как векторы $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ некомпланарны, для коллинеарности $\vec m$ и $\vec n$ должны быть пропорциональны их коэффициенты:

\[p=\lambda,\qquad q=\lambda p,\qquad 8=\lambda q.\]

Из первого равенства $\lambda=p$. Тогда

\[q=p^2,\qquad 8=pq=p^3.\]

Следовательно, $p=2$, а $q=p^2=4$.

Проверка: $\vec m=2\vec a+4\vec b+8\vec c=2(\vec a+2\vec b+4\vec c)=2\vec n$.

Ответ: $p=2$, $q=4$.

3. Даны три неколлинеарных вектора \(\vec a\), \(\vec b\) и \(\vec c\). Найдите значения \(p\) и \(q\), при которых векторы \(\vec m=p\vec a+q\vec b+8\vec c\) и \(\vec n=\vec a+p\vec b+q\vec c\) коллинеарны.

Ответ: