3. Десятичная запись числа состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли это число быть полным квадратом?

Пусть в записи стоят 30 единиц и несколько нулей. Число нечётное, поскольку его последняя цифра — 1. Если число является квадратом нечётного целого, его корень тоже нечётный.

Для любого нечётного целого квадрата остаток при делении на 8 равен 1. Рассмотрим число по модулю 8: цифры, начиная с третьей справа, дают вклад, кратный 100, а \(100\equiv4\pmod8\); далее чередуются вклады единиц и нулей с весами степеней 10. Удобнее сгруппировать десятичную запись попарно справа: так как в ней ровно 30 единиц, сумма вкладов единиц в позициях, кроме последней, не может сделать остаток равным 1 для всех возможных расположений нулей. Однако формулировка не уточняет, где именно находятся нули, поэтому нужно учитывать возможные записи.

Контрпример: число из 30 единиц без нулей — \(111\ldots111\) (30 единиц) — не является квадратом: оно оканчивается на 1, а проверка по модулю 9 даёт остаток \(30\equiv3\pmod9\), тогда как квадраты по модулю 9 имеют остатки 0, 1, 4, 7. Но при наличии нулей сумма цифр равна 30, поэтому остаток по модулю 9 также равен 3, независимо от числа нулей. Следовательно, квадратом число быть не может.

Ответ: нет. Сумма его цифр равна 30, поэтому число сравнимо с 3 по модулю 9, а квадрат не может иметь такой остаток.