3. Десятичное число 55 в некоторой системе счисления записано как 313. Определите основание этой системы счисления.

Обозначим основание системы через b. Запись 313 в этой системе означает 3b² + b + 3. Приравняем её к десятичному числу 55:

3b² + b + 3 = 55, следовательно 3b² + b − 52 = 0.

Дискриминант: D = 1 + 624 = 625, √D = 25. Тогда b = (−1 + 25) / 6 = 4; второй корень отрицателен и основанием быть не может. Цифра 3 допустима при основании 4.

Ответ: основание системы счисления — 4.