3. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть \( \angle BAC = 51^{\circ} \).

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т.е. \( AO = BO = CO = DO \).
2. Рассмотрим треугольник ABO. Так как \( AO = BO \), то он равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA \).
3. \( \angle OAB = \angle BAC = 51^{\circ} \).
4. \( \angle OBA = 51^{\circ} \).
5. \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).
6. \( \angle AOB \) — тупой угол между диагоналями.
7. Острый угол между диагоналями — это смежный угол \( \angle BOC \) или \( \angle AOD \).
8. \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \). Это тупой угол.
9. Острый угол между диагоналями — \( \angle AOD \) или \( \angle BOC \) (смежный с \( \angle AOB \)).
10. \( \angle AOD = \angle BOC = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).
11. Другой острый угол между диагоналями равен \( 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).
12. Альтернативный подход: \( \angle CAD = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).
13. \( \angle ADB = \angle CAD = 39^{\circ} \) (как накрест лежащие при \( AD \parallel BC \) и секущей BD).
14. В треугольнике ABD: \( \angle ABD = 90^{\circ} - \angle ADB = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ} \).
15. \( \angle ABD = 51^{\circ} \).
16. \( \angle CBD = 90^{\circ} - \angle ADB = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ} \).
17. \( \angle DBC = 90^{\circ} - \angle ADB = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ} \).
18. \( \angle ADB = 39^{\circ} \).
19. \( \angle OAD = 51^{\circ} \). \( \angle ODA = 39^{\circ} \).
20. \( \angle AOD = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Это ошибка.
21. Снова рассмотрим треугольник ABO. \( \angle OAB = 51^{\circ} \). \( \angle OBA = \angle DBC = 90^{\circ} - \angle ADB \).
22. \( \angle ADB = \angle CAD = 39^{\circ} \).
23. \( \angle OBA = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ} \).
24. \( \angle AOB = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).
25. Острый угол между диагоналями — \( 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \) — это тупой.
26. Острый угол между диагоналями — \( 78^{\circ} \).
27. Если угол между стороной и диагональю 51°, то другой угол между стороной и диагональю 90° - 51° = 39°.
28. В треугольнике, образованном двумя полудиагоналями и стороной, углы равны 51°, 51° и 180° - (51°+51°) = 78°.
29. Острый угол между диагоналями равен 78°.
30. Если угол между стороной и диагональю 39°, то другой угол равен 90° - 39° = 51°.
31. Углы между диагоналями: \( 2 \times (90^{\circ} - 51^{\circ}) = 2 \times 39^{\circ} = 78^{\circ} \) и \( 2 \times 51^{\circ} = 102^{\circ} \).
32. Острый угол между диагоналями равен \( 2 \times (90^{\circ} - 51^{\circ}) = 2 \times 39^{\circ} = 78^{\circ} \).
33. Острый угол между диагоналями равен \( 180^{\circ} - 2 \times 51^{\circ} = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).
34. Другой угол между диагоналями равен \( 2 \times 51^{\circ} = 102^{\circ} \).
35. Острый угол равен \( 78^{\circ} \).

Ответ: 78.