Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 6. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 10.Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Пусть биссектрисы углов А и В пересекаются в точке F.
  2. Так как AF — биссектриса угла A, то \( \angle FAB = \angle FAD \).
  3. Так как BF — биссектриса угла B, то \( \angle FBA = \angle FBC \).
  4. В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны.
  5. Углы \( \angle FAB \) и \( \angle FAD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AF. Это неверно.
  6. Углы \( \angle FAB \) и \( \angle AFB \) являются частью треугольника ABF.
  7. Углы \( \angle FAB \) и \( \angle AFB \) являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AF. Это неверно.
  8. Углы \( \angle FAB \) и \( \angle AFB \) являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AF. Это неверно.
  9. Рассмотрим углы \( \angle FAB \) и \( \angle AFB \).
  10. \( \angle FAB = \angle FAD \) (по определению биссектрисы).
  11. \( \angle AFB = \angle FAD \) (как накрест лежащие при \( AD \parallel BC \) и секущей AF).
  12. Следовательно, \( \angle FAB = \angle AFB \).
  13. Это означает, что треугольник ABF равнобедренный с основанием AB.
  14. Значит, \( AF = BF \).
  15. Однако, по условию \( AF = 24 \) и \( BF = 10 \). Это противоречие.
  16. Перечитаем условие: "Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F."
  17. \( \angle FAB = \angle FAD \). \( \angle FBA = \angle FBC \).
  18. \( AD \parallel BC \).
  19. \( \angle BAF = \angle AFE \) (накрест лежащие).
  20. \( \angle ABF = \angle BFE \) (накрест лежащие).
  21. \( \angle FAB = \angle ABF \) ? Нет.
  22. \( \angle FAB \) и \( \angle FBA \) — это углы при основании AB треугольника ABF.
  23. \( \angle BAF \) и \( \angle AFB \) — не равны.
  24. \( \angle FAB = \angle DAF \) (AF — биссектриса).
  25. \( \angle ABF = \angle CBF \) (BF — биссектриса).
  26. \( AD \parallel BC \).
  27. \( \angle BAF = \angle AFC \) (как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AF).
  28. \( \angle ABF = \angle BFC \) (как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей BF).
  29. Следовательно, \( \angle FAB = \angle AFB \) ? Нет.
  30. \( \angle FAB \) — часть \( \angle A \), \( \angle FBA \) — часть \( \angle B \).
  31. \( \angle FAB = \angle DAF \). \( \angle ABF = \angle CBF \).
  32. \( AD \parallel BC \).
  33. \( \angle BAF = \angle AFB \) (накрест лежащие углы при AD \( \parallel \) BC и секущей AF).
  34. Значит, \( \triangle ABF \) — равнобедренный, и \( AB = BF \).
  35. По условию \( AF = 24 \) и \( BF = 10 \).
  36. Это означает, что \( AB = 10 \).
  37. Но также \( AF = 24 \).
  38. Если \( \triangle ABF \) равнобедренный с основанием AB, то \( AF = BF \).
  39. Это противоречие.
  40. Ошибка в предположении, что \( \angle BAF = \angle AFB \).
  41. \( \angle BAF = \angle FAB \). \( \angle ABF = \angle FBA \).
  42. \( AD \parallel BC \). \( \angle DAF \) и \( \angle AFB \) — накрест лежащие.
  43. \( \angle FAB \) — половина \( \angle A \). \( \angle FBA \) — половина \( \angle B \).
  44. \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \) (углы, прилежащие к боковой стороне трапеции).
  45. \( \angle FAB = \frac{1}{2} \angle A \). \( \angle FBA = \frac{1}{2} \angle B \).
  46. \( \angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ} \).
  47. В треугольнике ABF сумма углов \( \angle FAB + \angle FBA + \angle AFB = 180^{\circ} \).
  48. \( 90^{\circ} + \angle AFB = 180^{\circ} \).
  49. \( \angle AFB = 90^{\circ} \).
  50. Следовательно, \( \triangle ABF \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle AFB \).
  51. По теореме Пифагора в \( \triangle ABF \): \( AB^2 = AF^2 + BF^2 \).
  52. \( AB^2 = 24^2 + 10^2 \).
  53. \( AB^2 = 576 + 100 \).
  54. \( AB^2 = 676 \).
  55. \( AB = \sqrt{676} = 26 \).

Ответ: 26.