3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что углы ABD и ACD равны, BO = CO. Докажите, что диагонали четырёхугольника равны.

Рассмотрим треугольники ABO и DCO. Поскольку O лежит на диагоналях BD и AC, из условия ∠ABD = ∠ACD получаем ∠ABO = ∠DCO. Углы AOB и DOC равны как вертикальные. Кроме того, BO = CO по условию.

Следовательно, треугольники ABO и DCO равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AO = DO.

Так как AC = AO + OC, а BD = BO + OD, и AO = OD, OC = BO, то AC = BD.

Что и требовалось доказать.