3. Диаметр шара равен 6. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

Диаметр равен 6, значит радиус шара \(R=3\). Перпендикулярное расстояние от центра шара до плоскости равно расстоянию от центра до выбранного конца диаметра, умноженному на синус угла между диаметром и плоскостью:

\(d=3\sin45^\circ=\frac{3\sqrt2}{2}\).

Радиус \(r\) кругового сечения удовлетворяет равенству \(r^2=R^2-d^2\):

\(r^2=9-\frac{18}{4}=\frac92\).

Площадь сечения: \(S=\pi r^2=\frac{9\pi}{2}\).

Ответ: \(\frac{9\pi}{2}\) кв. ед.