4. Площадь сферы, вписанной в куб, равна 25π. Найти радиус сферы, описанной около этого куба.

Пусть радиус вписанной сферы равен \(r\). Тогда \(4\pi r^2=25\pi\), откуда \(r=\frac52\). Диаметр вписанной сферы равен ребру куба: \(a=2r=5\).

Радиус описанной около куба сферы равен половине пространственной диагонали куба:

\(R=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\).

Ответ: \(\frac{5\sqrt3}{2}\).