3. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (7n + 6)² – 64 делится нацело на 7

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

В данном выражении \( a = (7n + 6) \) и \( b = 8 \).

\( (7n + 6)^2 - 64 = (7n + 6)^2 - 8^2 = ((7n + 6) - 8)((7n + 6) + 8) = (7n - 2)(7n + 14) \)

Вынесем общий множитель \( 7 \) из второй скобки:

\( (7n - 2)(7n + 14) = (7n - 2) · 7(n + 2) = 7 · (7n - 2)(n + 2) \)

Так как полученное выражение содержит множитель \( 7 \), оно делится нацело на 7 при любом натуральном \( n \).

Доказано.