3. Доказать тождество: 1) \(8\cos 2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=2\cos 2\alpha\); 2) \(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).

1) Используем тождество \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha\). Левая часть равна \(8\cos 2\alpha-\cos 2\alpha=7\cos 2\alpha\), а не \(2\cos 2\alpha\). Следовательно, записанное равенство не является тождеством: оно выполняется только при \(\cos 2\alpha=0\). Например, при \(\alpha=0\) левая часть равна 7, а правая — 2.

2) Применим формулу разности синусов: \(\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\).

\(\sin 5\alpha-\sin 3\alpha=2\cos 4\alpha\sin\alpha\).

При \(\cos 4\alpha\ne0\) делим обе части на \(2\cos 4\alpha\) и получаем \(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\). Тождество доказано в области определения выражения.