4. Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)$; 2) $\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2(\frac\pi2-\alpha)$; 3) $2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Используем формулы $\sin(\frac\pi2-\alpha)=\cos\alpha$ и $\sin(-\beta)=-\sin\beta$:

$\sin(\alpha-\beta)-\cos\alpha(-\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta$.

Раскрываем синус разности: $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta$.

2) $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, а $\cos(\frac\pi2-\alpha)=\sin\alpha$. Поэтому $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha$.

3) Раскроем косинус суммы: $2\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$.

Ответ: 1) $\sin\alpha\cos\beta$; 2) $\cos 2\alpha$; 3) $\cos(\alpha-\beta)$.

4. Упростить выражение: 1) \(\sin(\alpha-\beta)-\sin(\frac\pi2-\alpha)\cdot\sin(-\beta)\); 2) \(\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2(\frac\pi2-\alpha)\); 3) \(2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)\).