3. Докажите, что четырёхугольник PSQT, заданный координатами своих вершин P(3; 0), S(−1; 3), Q(−4; −1), T(0; −4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Найдём векторы последовательных сторон:

\(\overrightarrow{PS}=(-1-3;\,3-0)=(-4;3)\), \(\overrightarrow{SQ}=(-4+1;\,-1-3)=(-3;-4)\), \(\overrightarrow{QT}=(0+4;\,-4+1)=(4;-3)\), \(\overrightarrow{TP}=(3-0;\,0+4)=(3;4)\).

Длины всех сторон равны: например, \(|PS|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5\), и аналогично \(|SQ|=|QT|=|TP|=5\).

Смежные стороны перпендикулярны, так как \(\overrightarrow{PS}\cdot\overrightarrow{SQ}=(-4)(-3)+3(-4)=12-12=0\). Следовательно, четырёхугольник — ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Площадь квадрата равна квадрату стороны: \(S=5^2=25\).

Ответ: PSQT — квадрат, его площадь равна 25 квадратным единицам.