3. Докажите, что если на рисунке углы С и D прямые и MD = KC, то \(\Delta MKC = \Delta DKD\).

Решение:

Дано: \( ∠ C = 90^\circ \), \( ∠ D = 90^\circ \), \( MD = KC \).

Доказать: \( ∆ MKC = ∆ DKD \).

Рассмотрим треугольники \( ∆ MKC \) и \( ∆ DKD \).

У нас есть:

1. \( ∠ C = ∠ D = 90^\circ \) (по условию).
2. \( KC = MD \) (по условию).

Чтобы доказать равенство треугольников, нам нужно найти еще одно условие. Рассмотрим прямые \( MC \) и \( KD \). Из рисунка видно, что \( MC \) и \( KD \) перпендикулярны к \( CD \), следовательно, \( MC \parallel KD \).

Рассмотрим отрезки \( MK \) и \( CD \). У нас есть четырехугольник \( MCDK \). Так как \( ∠ C = 90^\circ \) и \( ∠ D = 90^\circ \), то \( CD \) является перпендикуляром к \( MC \) и \( KD \). Если \( MD=KC \) и \( MC \parallel KD \), то \( MCDK \) — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны, значит \( MK = CD \). Также в прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, \( MC = KD \) и \( MD = KC \).

Теперь вернемся к треугольникам \( ∆ MKC \) и \( ∆ DKD \):

• \( ∠ C = ∠ D = 90^\circ \) (дано).
• \( KC = MD \) (дано).
• \( MC = KD \) (как противоположные стороны прямоугольника \( MCDK \)).

По двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними - признак равенства прямоугольных треугольников) \( ∆ MKC = ∆ DKD \).

Что и требовалось доказать.