5*. Треугольник BCD — равнобедренный. Прямая, параллельная основанию DB, пересекает стороны BC и CD в точках M и K. Докажите, что CK = CM.

Решение:

Дано:
ΔBCD — равнобедренный (BC = BD).
Прямая MK || DB, M ∈ BC, K ∈ CD.

Доказать:
CK = CM.

Доказательство:

Так как ΔBCD — равнобедренный и BC = BD, то углы при основании равны:
∠BCD = ∠BDC.

Так как прямая MK || DB, то секущая BC образует равные углы:

∠BMK = ∠BDC (как соответственные углы при параллельных прямых MK и DB и секущей BC).

Следовательно, ∠BMK = ∠BCD.

Рассмотрим треугольник ΔMCK. У нас есть:

1. ∠MCK = ∠BCD (общий угол).

2. ∠MKC = ∠MCK (так как ∠MKC = ∠BDC, а ∠BDC = ∠BCD).

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Следовательно, ΔMCK — равнобедренный, и стороны, противолежащие равным углам, равны: CM = CK.

Доказано.