4. В треугольнике NPT угол P равен 88°, а угол N в 5 раз меньше внешнего угла при вершине Т. Найдите неизвестные углы треугольника.

Решение:

Дано: \( ∠ P = 88^\circ \). \( ∠ N \) в 5 раз меньше внешнего угла при вершине \( T \).

Найти: \( ∠ N \), \( ∠ T \).

Пусть внешний угол при вершине \( T \) равен \( x \). Тогда \( ∠ N = \frac{x}{5} \).

Внутренний угол \( ∠ T \) и внешний угол при той же вершине в сумме дают \( 180^\circ \). Значит, \( ∠ T = 180^\circ - x \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

\( ∠ N + ∠ P + ∠ T = 180^∅ \)

Подставляем известные значения:

\( \frac{x}{5} + 88^\circ + (180^−x) = 180^∅ \)

\( \frac{x}{5} + 88^−x = 0 \)

\( 88^\circ = x - \frac{x}{5} \)

\( 88^\circ = \frac{4x}{5} \)

\( x = \frac{88^\circ \cdot 5}{4} \)

\( x = 22^\circ \cdot 5 = 110^\circ \) — внешний угол при вершине \( T \).

Теперь найдём внутренние углы:

\( ∠ N = \frac{x}{5} = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ \)

\( ∠ T = 180^−x = 180^−110^\circ = 70^\circ \)

Проверим: \( 22^\circ + 88^\circ + 70^∅ = 180^∅ \).

Ответ: \( ∠ N = 22^\circ, ∠ T = 70^∅ \).