3 Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Объяснение:

Представь себе окружность с центром в точке O и радиусом r. Теперь проведи прямую линию, которая находится на расстоянии r от центра O. Это означает, что самая короткая линия, которую можно провести от центра O до этой прямой, равна радиусу r. Эта короткая линия перпендикулярна прямой (это свойство расстояния от точки до прямой).

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Точка, в которой радиус перпендикулярен прямой, лежит на самой окружности (потому что ее расстояние от центра равно радиусу). Если бы прямая проходила через окружность (пересекала ее), то расстояние от центра до прямой было бы меньше радиуса. Если бы прямая была дальше от центра, то расстояние было бы больше радиуса, и она бы вообще не касалась окружности.

Поскольку мы знаем, что существует точка на прямой, которая находится на расстоянии радиуса от центра, и эта линия (радиус) перпендикулярна прямой, то эта точка и есть единственная точка пересечения прямой и окружности. Следовательно, прямая является касательной к окружности.