3. Докажите, что медиана треугольника делит одну из его средних линий пополам.

Пусть в треугольнике ABC медиана AM проведена к стороне BC, а N и P — середины сторон AB и AC. Тогда NP — средняя линия треугольника, параллельная BC.

Рассмотрим треугольник ABM. Точки N и M — середины его сторон AB и BM. Поэтому NM — средняя линия треугольника ABM, и NM = AM/2.

Аналогично в треугольнике ACM отрезок MP — средняя линия, поэтому MP = AM/2. Значит, NM = MP, то есть медиана делит среднюю линию NP пополам.

Ответ: медиана делит пополам среднюю линию, соединяющую середины двух других сторон.