4. Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна проведённой к нему медиане. Найдите угол треугольника, лежащий против этого основания.

Пусть AB — основание треугольника ABC, M — середина основания, а N и P — середины сторон AC и BC. Тогда NP — средняя линия, параллельная основанию AB.

По свойству средней линии, NP = AB/2. По условию NP = CM, где CM — медиана к основанию. Следовательно, CM = AB/2.

Поскольку M — середина AB, имеем AM = AB/2, значит, CM = AM. Треугольник ACM равнобедренный. Аналогично BM = AB/2 = CM, поэтому BCM также равнобедренный. Из равенства этих боковых отрезков следует, что углы при вершине C в двух малых треугольниках равны углам при основаниях; в частности, ∠ACM = ∠MAC и ∠MCB = ∠MBC. Поскольку A, M, B лежат на одной прямой, углы ∠MAC и ∠MBC в сумме равны 180° − ∠ACB. С другой стороны, они равны соответственно ∠ACM и ∠MCB, сумма которых равна ∠ACB. Значит, 2∠ACB = 180° − ∠ACB, откуда ∠ACB = 60°.

Ответ: 60°.