3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ выражение тождественно равно нулю: а) $\frac{4(a+1)}{a^3-8}+\frac{a}{a^2+2a+4}+\frac{1}{2-a}$; б) $\frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ выражение тождественно равно нулю: а)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Допустимые значения: $a\ne2$. Поскольку $a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$ и $\frac1{2-a}=-\frac1{a-2}$, приводим к общему знаменателю: \[\frac{4(a+1)+a(a-2)-(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\frac0{(a-2)(a^2+2a+4)}=0.\]
б) Допустимые значения: $a\ne1$. Так как $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$ и $\frac1{1-a}=-\frac1{a-1}$, получаем \[\frac{2a+1+a(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac0{(a-1)(a^2+a+1)}=0.\]

Ответ: оба выражения тождественно равны нулю при всех допустимых значениях $a$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) выражение тождественно равно нулю: а) \(\frac{4(a+1)}{a^3-8}+\frac{a}{a^2+2a+4}+\frac{1}{2-a}\); б) \(\frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}\).