3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной c значение дроби: 1) \(\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81}\) положительное; 2) \(\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1}\) неположительное.

1) Рассмотрим дробь \(\frac{c^2 - 2c + 2}{c^2 + 18c + 81}\). Числитель: \(c^2 - 2c + 2 = c^2 - 2c + 1 + 1 = (c-1)^2 + 1\). Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((c-1)^2 \geq 0\), и следовательно, \((c-1)^2 + 1 > 0\). Знаменатель: \(c^2 + 18c + 81 = (c+9)^2\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((c+9)^2 \geq 0\). Выражение имеет смысл если \(c \neq -9\) таким образом \((c+9)^2 > 0\). Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, является положительным числом.
2) Рассмотрим дробь \(\frac{10c - 25 - c^2}{c^8 + 1}\). Числитель: \(10c - 25 - c^2 = -(c^2 - 10c + 25) = -(c - 5)^2\). Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((c-5)^2 \geq 0\), и следовательно, \(-(c-5)^2 \leq 0\). Знаменатель: \(c^8 + 1\). Так как восьмая степень любого числа неотрицательна, то \(c^8 \geq 0\) и следовательно, \(c^8 + 1 > 0\). Дробь, числитель которой неположителен, а знаменатель положителен, является неположительным числом.