3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\dfrac{3}{25-a^2}+\dfrac{1}{a^2-10a+25}\right)\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(a-5)^2=(5-a)^2$.

В скобках приведём дроби к общему знаменателю:

$\dfrac{3}{(5-a)(a+5)}+\dfrac{1}{(5-a)^2}=\dfrac{3(5-a)+(a+5)}{(5-a)^2(a+5)}=\dfrac{20-2a}{(5-a)^2(a+5)}=\dfrac{2(10-a)}{(5-a)^2(a+5)}$.

Умножим на $\dfrac{(5-a)^2}{2}$, затем сложим оставшееся слагаемое:

$\dfrac{2(10-a)}{(5-a)^2(a+5)}\cdot\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}=\dfrac{10-a}{a+5}+\dfrac{3a}{a+5}=\dfrac{10+2a}{a+5}=2$.

Преобразования допустимы при заданных $a\ne\pm5$, поскольку знаменатели исходного выражения тогда не равны нулю.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 2.

3. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\dfrac{3}{25-a^2}+\dfrac{1}{a^2-10a+25}\right)\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).