3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{8}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{8a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

3. Докажите, что при всех значениях $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{8}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{8a}{a+5}$ не зависит от $a$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(a-5)^2=(5-a)^2$. Область допустимых значений: $a\ne\pm5$.

Упростим выражение:

\[\left(\frac{8}{(5-a)(5+a)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{8a}{a+5}\]

В первой скобке приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8(5-a)+(5+a)}{(5-a)^2(5+a)}=\frac{45-7a}{(5-a)^2(5+a)}.\]

После умножения на $\frac{(5-a)^2}{2}$ получаем $\frac{45-7a}{2(a+5)}$. Складываем с последним слагаемым:

\[\frac{45-7a}{2(a+5)}+\frac{8a}{a+5}=\frac{45-7a+16a}{2(a+5)}=\frac{45+9a}{2(a+5)}.\]

Это выражение не является постоянным: например, при $a=0$ оно равно $\frac{9}{2}$, а при $a=1$ — $\frac{9}{2}$? Подстановка даёт $\frac{54}{12}=\frac92$; проверим упрощение: числитель общей скобки должен быть $8(5-a)+(5+a)=45-7a$, а добавление $16a\text{?}$ к числителю неверно: $\frac{8a}{a+5}=\frac{16a}{2(a+5)}$, итог $45+9a$. Это равно $9(a+5)$, значит результат постоянен.

Следовательно, выражение равно $\frac{9(a+5)}{2(a+5)}=\frac92$, поскольку $a\ne-5$.

Ответ: значение выражения постоянно и равно $\frac92$.

3. Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{8}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{8a}{a+5}\) не зависит от \(a\).

Ответ: