№3. Докажите, что значение выражения (3/(25 − a²) + 1/(a² − 10a + 25)) · (5 − a)²/2 + 3a/(a + 5) не зависит от a.

Область допустимых значений: a ≠ 5 и a ≠ −5, поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль.

1. Разложим знаменатели на множители: 25 − a² = (5 − a)(5 + a), а a² − 10a + 25 = (a − 5)² = (5 − a)².
2. Подставим разложения и раскроем умножение на дробь:

\(\left(\frac{3}{(5-a)(5+a)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\)

\(=\frac{3(5-a)}{2(a+5)}+\frac12+\frac{3a}{a+5}\)

\(=\frac{3(5-a)+(a+5)+6a}{2(a+5)}=\frac{20+4a}{2(a+5)}=2.\)

При всех допустимых значениях a выражение равно одному и тому же числу.

Ответ: значение выражения не зависит от a и равно 2.