3. Докажите, что значение выражения $\frac{(a+2)^4}{0{,}5a^3+3a^2+6a+4}-\frac{(a-2)^4}{0{,}5a^3-3a^2+6a-4}$ при $a\ne-2$ и $a\ne2$ не зависит от значений $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что значение выражения $\frac{(a+2)^4}{0{,}5a^3+3a^2+6a+4}-\frac{(a-2)^4}{0{,}5a^3-3a^2+6a-4}$ при…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители:

$0{,}5a^3+3a^2+6a+4=0{,}5(a+2)^3$, поскольку $(a+2)^3=a^3+6a^2+12a+8$.

Аналогично, $0{,}5a^3-3a^2+6a-4=0{,}5(a-2)^3$.

Так как $a\ne-2$ и $a\ne2$, знаменатели не равны нулю, и дроби можно сократить:

\[\frac{(a+2)^4}{0{,}5(a+2)^3}-\frac{(a-2)^4}{0{,}5(a-2)^3}=2(a+2)-2(a-2).\]

Упростим:

$2a+4-2a+4=8$.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 8.

3. Докажите, что значение выражения \(\frac{(a+2)^4}{0{,}5a^3+3a^2+6a+4}-\frac{(a-2)^4}{0{,}5a^3-3a^2+6a-4}\) при \(a\ne-2\) и \(a\ne2\) не зависит от значений \(a\).