4. Представьте дробь в виде суммы двух дробей, знаменателями которых являются двучлены первой степени: а) \(\frac{2x-6}{(x-1)(x-5)}\); б) \(\frac{2x-1}{x^2-x-6}\); в) \(\frac{x^2+4x-3}{x^2-9}\); г) \(\frac{x^2+x-5}{x^2-5x}\).

Разложим знаменатели на множители и подберём числители так, чтобы после приведения к общему знаменателю получилась исходная дробь.

а) Пусть \(\frac{2x-6}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5}\). Тогда \(A(x-5)+B(x-1)=2x-6\), откуда \(A+B=2\), \(-5A-B=-6\). Решение: \(A=1, B=1\). Следовательно, \(\frac{2x-6}{(x-1)(x-5)}=\frac1{x-1}+\frac1{x-5}\).

б) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Пусть \(\frac{2x-1}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}\). Тогда \(A+B=2\), \(2A-3B=-1\), откуда \(A=1, B=1\). Значит, \(\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac1{x-3}+\frac1{x+2}\).

в) \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Пусть числитель суммы равен \(A(x+3)+B(x-3)\). Сравнение коэффициентов даёт \(A+B=1\), \(3A-3B=4\), то есть \(A=\frac76, B=-\frac16\). Поэтому \(\frac{x^2+4x-3}{x^2-9}=\frac{7}{6(x-3)}-\frac{1}{6(x+3)}\).

г) \(x^2-5x=x(x-5)\). Пусть \(\frac{x^2+x-5}{x(x-5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}\). Тогда \((A+B)x-5A=x^2+x-5\) — равенство невозможно: числитель суммы двух таких дробей линейный, а заданный числитель квадратичный. Разделим: \(\frac{x^2+x-5}{x(x-5)}=1+\frac{6x-5}{x(x-5)}\). Для остатка разложение даёт \(\frac{6x-5}{x(x-5)}=\frac1x+\frac5{x-5}\). Следовательно, исходная дробь равна \(1+\frac1x+\frac5{x-5}\). Условие требует представить её именно суммой двух дробей с линейными знаменателями; это возможно, например, распределив единицу: \(1=\frac{x-5}{x-5}\), поэтому \(\frac{x^2+x-5}{x(x-5)}=\frac{x-4}{x}+\frac6{x-5}\).

Ответ: а) \(\frac1{x-1}+\frac1{x-5}\); б) \(\frac1{x-3}+\frac1{x+2}\); в) \(\frac7{6(x-3)}-\frac1{6(x+3)}\); г) \(\frac{x-4}{x}+\frac6{x-5}\).