5. Представьте в виде рациональной дроби выражение: а) \(\frac1{x(x+2)}+\frac1{(x+2)(x+4)}+\frac1{(x+4)(x+6)}\); б) \(\frac1{(y-1)(y-3)}+\frac1{(y-3)(y-5)}+\frac1{(y-5)(y-7)}\); в) \(\frac{b}{a(a+b)}+\frac{c}{(a+b)(a+b+c)}\); г) \(\frac8{x^2-6x+5}+\frac{x-1}{2x-10}-\frac{x-5}{2x-2}\).

В первых трёх пунктах используем разность дробей с соседними линейными множителями.

а) \(\frac1{x(x+2)}=\frac12(\frac1x-\frac1{x+2})\); аналогично для остальных слагаемых. Сумма телескопируется:

\[\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+2}+\frac1{x+2}-\frac1{x+4}+\frac1{x+4}-\frac1{x+6}\right)=\frac1{2x}-\frac1{2(x+6)}=\frac3{x(x+6)}.\]

б) Так как \(\frac1{(y-1)(y-3)}=\frac12(\frac1{y-3}-\frac1{y-1})\), после сложения соседние слагаемые сокращаются:

\[\frac12\left(\frac1{y-3}-\frac1{y-1}+\frac1{y-5}-\frac1{y-3}+\frac1{y-7}-\frac1{y-5}\right)=\frac1{2(y-7)}-\frac1{2(y-1)}=\frac3{(y-1)(y-7)}.\]

в) Приведём к общему знаменателю \(a(a+b)(a+b+c)\):

\[\frac{b(a+b+c)+ac}{a(a+b)(a+b+c)}=\frac{ab+b^2+bc+ac}{a(a+b)(a+b+c)}=\frac{(a+b)(b+c)}{a(a+b)(a+b+c)}=\frac{b+c}{a(a+b+c)}.\]

г) Разложим знаменатели: \(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\), \(2x-10=2(x-5)\), \(2x-2=2(x-1)\). Тогда

\[\frac8{(x-1)(x-5)}+\frac{x-1}{2(x-5)}-\frac{x-5}{2(x-1)}.\]

Общий знаменатель \(2(x-1)(x-5)\); числитель равен \(16+(x-1)^2-(x-5)^2=8x-8=8(x-1)\). Сокращаем:

\[\frac{8(x-1)}{2(x-1)(x-5)}=\frac4{x-5}.\]

Ответ: а) \(\frac3{x(x+6)}\); б) \(\frac3{(y-1)(y-7)}\); в) \(\frac{b+c}{a(a+b+c)}\); г) \(\frac4{x-5}\).