3. Докажите неравенство: 1) (a + 6)(a – 9) > (a + 11)(a – 14); 2) (а – 10)² – 12 < (a – 7)(a – 13); 3) (4a – 1)(4a + 1) – (5a – 7)² ≤ 14(5a – 4) + 6.

Задание 3. Доказательство неравенств

1) Докажем неравенство \( (a + 6)(a – 9) > (a + 11)(a – 14) \)

1. Раскроем скобки в левой части: \( a^2 - 9a + 6a - 54 = a^2 - 3a - 54 \)
2. Раскроем скобки в правой части: \( a^2 - 14a + 11a - 154 = a^2 - 3a - 154 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в неравенство: \( a^2 - 3a - 54 > a^2 - 3a - 154 \)
4. Вычтем \( a^2 \) из обеих частей: \( -3a - 54 > -3a - 154 \)
5. Прибавим \( 3a \) к обеим частям: \( -54 > -154 \)
6. Это неравенство верно. Следовательно, исходное неравенство верно.

2) Докажем неравенство \( (a – 10)^2 – 12 < (a – 7)(a – 13) \)

1. Раскроем скобки в левой части: \( (a^2 - 20a + 100) - 12 = a^2 - 20a + 88 \)
2. Раскроем скобки в правой части: \( a^2 - 13a - 7a + 91 = a^2 - 20a + 91 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в неравенство: \( a^2 - 20a + 88 < a^2 - 20a + 91 \)
4. Вычтем \( a^2 \) из обеих частей: \( -20a + 88 < -20a + 91 \)
5. Прибавим \( 20a \) к обеим частям: \( 88 < 91 \)
6. Это неравенство верно. Следовательно, исходное неравенство верно.

3) Докажем неравенство \( (4a – 1)(4a + 1) – (5a – 7)^2 ≤ 14(5a – 4) + 6 \)

1. Раскроем скобки в левой части: \( (16a^2 - 1) - (25a^2 - 70a + 49) = 16a^2 - 1 - 25a^2 + 70a - 49 = -9a^2 + 70a - 50 \)
2. Раскроем скобки в правой части: \( 70a - 56 + 6 = 70a - 50 \)
3. Подставим полученные выражения обратно в неравенство: \( -9a^2 + 70a - 50 ≤ 70a - 50 \)
4. Вычтем \( 70a \) из обеих частей: \( -9a^2 - 50 ≤ -50 \)
5. Прибавим 50 к обеим частям: \( -9a^2 ≤ 0 \)
6. Разделим на -9 (и изменим знак неравенства): \( a^2 ≥ 0 \)
7. Это неравенство верно для любого действительного значения \( a \). Следовательно, исходное неравенство верно.