5. Докажите, что: 1) x²(x - y) ≥ y²(х – у), если x≥ 0 и y ≥ 0; 2) x³-4x² + 8x - 32≥ 0, если x≥ 4.

Задание 5. Доказательство неравенств

1) Докажем неравенство \( x^2(x - y) ≥ y^2(x – y) \) при \( x≥ 0 \) и \( y ≥ 0 \)

1. Перенесём все члены в левую часть: \( x^2(x - y) - y^2(x – y) ≥ 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( (x - y) \): \( (x - y)(x^2 - y^2) ≥ 0 \)
3. Разложим \( x^2 - y^2 \) как разность квадратов: \( (x - y)(x - y)(x + y) ≥ 0 \)
4. \( (x - y)^2(x + y) ≥ 0 \)
5. Так как \( (x - y)^2 \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), а \( x+y \) при \( x≥ 0 \) и \( y ≥ 0 \) также неотрицательно (больше или равно 0), то их произведение \( (x - y)^2(x + y) \) будет неотрицательным.
6. Следовательно, \( x^2(x - y) ≥ y^2(x – y) \) верно при \( x≥ 0 \) и \( y ≥ 0 \).

2) Докажем неравенство \( x³-4x² + 8x - 32≥ 0 \) при \( x≥ 4 \)

1. Сгруппируем члены: \( (x³ - 4x²) + (8x - 32) \)
2. Вынесем общие множители из каждой группы: \( x²(x - 4) + 8(x - 4) \)
3. Вынесем общий множитель \( (x - 4) \): \( (x - 4)(x² + 8) \)
4. Рассмотрим множители:
• \( (x - 4) \): Поскольку по условию \( x ≥ 4 \), то \( x - 4 ≥ 0 \).
• \( (x² + 8) \): Так как \( x² \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \( x² + 8 \) всегда положительно (больше 0).
5. Произведение неотрицательного числа \( (x - 4) \) и положительного числа \( (x² + 8) \) будет неотрицательным.
6. Следовательно, \( x³-4x² + 8x - 32≥ 0 \) верно при \( x≥ 4 \).