Докажите, что: 1) \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\geq 4\), если x > 0, y > 0;

Задание 6. Доказательство неравенства

Докажем неравенство \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\geq 4\), если \( x > 0 \) и \( y > 0 \)

Метод 1: Использование неравенства о средних (AM-GM inequality)

По неравенству о средних для двух неотрицательных чисел \( a \) и \( b \), \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \), что эквивалентно \( a+b \ge 2\sqrt{ab} \).

1. Применим неравенство к \( x + \frac{1}{x} \) (где \( x > 0 \)):
• \( x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{1} = 2 \)
2. Применим неравенство к \( y + \frac{1}{y} \) (где \( y > 0 \)):
• \( y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2\sqrt{1} = 2 \)
3. Теперь перемножим полученные неравенства (так как все выражения положительны):
• \( \left(x+\frac{1}{x}\right) \cdot \left(y+\frac{1}{y}\right) \ge 2 \cdot 2 \)
• \( \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right) \ge 4 \)

Метод 2: Раскрытие скобок и выделение полных квадратов

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:
• \( \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right) = xy + x\cdot\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\cdot y + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y} = xy + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{1}{xy} \)
2. Перепишем исходное неравенство:
• \( xy + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{1}{xy} \ge 4 \)
• \( xy + \frac{1}{xy} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 4 \)
3. Снова применим неравенство о средних к парам \( xy + \frac{1}{xy} \) и \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \), так как \( x, y > 0 \), то \( xy > 0 \) и \( \frac{x}{y} > 0 \):
• \( xy + \frac{1}{xy} \ge 2\sqrt{xy \cdot \frac{1}{xy}} = 2\sqrt{1} = 2 \)
• \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\sqrt{1} = 2 \)
4. Сложим эти два неравенства:
• \( \left(xy + \frac{1}{xy}\right) + \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \ge 2 + 2 \)
• \( xy + \frac{1}{xy} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 4 \)
5. Это доказывает исходное неравенство.

Вывод: Неравенство \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\geq 4\) доказано для \( x > 0 \) и \( y > 0 \).