Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Докажите неравенство: 1) a² – 8a + 17 > 0; 2) бу – 9y² – 4 < 0; 3) a(a – 10) > 4(a – 13); 4) x² + 9y² + 2x + 6y + 2 ≥ 0;…Фото задания

Ответ:

Задание 4. Доказательство неравенств

1) Докажем неравенство \( a^2 – 8a + 17 > 0 \)

  1. Выделим полный квадрат: \( a^2 - 8a + 16 + 1 = (a - 4)^2 + 1 \)
  2. Так как \( (a - 4)^2 \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \( (a - 4)^2 + 1 \) всегда больше 0.
  3. Следовательно, \( a^2 – 8a + 17 > 0 \) верно для любого \( a \).

2) Докажем неравенство \( 6y – 9y^2 – 4 < 0 \)

  1. Перепишем неравенство в виде: \( -9y^2 + 6y - 4 < 0 \)
  2. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: \( 9y^2 - 6y + 4 > 0 \)
  3. Выделим полный квадрат: \( (9y^2 - 6y + 1) + 3 = (3y - 1)^2 + 3 \)
  4. Так как \( (3y - 1)^2 \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \( (3y - 1)^2 + 3 \) всегда больше 0.
  5. Следовательно, \( 6y – 9y^2 – 4 < 0 \) верно для любого \( y \).

3) Докажем неравенство \( a(a – 10) > 4(a – 13) \)

  1. Раскроем скобки: \( a^2 - 10a > 4a - 52 \)
  2. Перенесём все члены в левую часть: \( a^2 - 10a - 4a + 52 > 0 \)
  3. Упростим: \( a^2 - 14a + 52 > 0 \)
  4. Выделим полный квадрат: \( (a^2 - 14a + 49) + 3 = (a - 7)^2 + 3 \)
  5. Так как \( (a - 7)^2 \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \( (a - 7)^2 + 3 \) всегда больше 0.
  6. Следовательно, \( a(a – 10) > 4(a – 13) \) верно для любого \( a \).

4) Докажем неравенство \( x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 ≥ 0 \)

  1. Сгруппируем члены: \( (x^2 + 2x) + (9y^2 + 6y) + 2 \)
  2. Выделим полные квадраты: \( (x^2 + 2x + 1) - 1 + (9y^2 + 6y + 1) - 1 + 2 \)
  3. Упростим: \( (x + 1)^2 + (3y + 1)^2 - 1 - 1 + 2 \)
  4. Получим: \( (x + 1)^2 + (3y + 1)^2 ≥ 0 \)
  5. Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, их сумма также неотрицательна.
  6. Следовательно, \( x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 ≥ 0 \) верно для любых \( x, y \).

5) Докажем неравенство \( x^2 - 6xy + 10y^2 – 4y + 7 > 0 \)

  1. Перегруппируем: \( x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 \)
  2. Выделим полные квадраты: \( (x^2 - 6xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) + 3 \)
  3. Это равно: \( (x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3 \)
  4. Так как квадраты любых действительных чисел неотрицательны, то \( (x - 3y)^2 ≥ 0 \) и \( (y - 2)^2 ≥ 0 \).
  5. Следовательно, \( (x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3 ≥ 3 \).
  6. Таким образом, \( x^2 - 6xy + 10y^2 – 4y + 7 > 0 \) верно для любых \( x, y \).

6) Докажем неравенство \(\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 6}} \geq 2

Условие: Знаменатель \( \sqrt{x^2 + 6} \) всегда положителен, так как \( x^2 \ge 0 \), значит \( x^2 + 6 \ge 6 \) и \( \sqrt{x^2 + 6} \ge \sqrt{6} \). Поэтому мы можем умножить обе части на \( \sqrt{x^2 + 6} \), не меняя знак неравенства.

  1. \( x^2 + 7 \ge 2 \sqrt{x^2 + 6} \)
  2. Возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны): \( (x^2 + 7)^2 \ge (2 \sqrt{x^2 + 6})^2 \)
  3. \( x^4 + 14x^2 + 49 \ge 4(x^2 + 6) \)
  4. \( x^4 + 14x^2 + 49 \ge 4x^2 + 24 \)
  5. Перенесём все члены в левую часть: \( x^4 + 14x^2 - 4x^2 + 49 - 24 \ge 0 \)
  6. \( x^4 + 10x^2 + 25 \ge 0 \)
  7. Заметим, что \( x^4 + 10x^2 + 25 = (x^2 + 5)^2 \)
  8. \( (x^2 + 5)^2 \ge 0 \)
  9. Это неравенство верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.
  10. Следовательно, \(\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 6}} \geq 2 \) верно для всех \( x \).