3. Докажите тождество cos(2α + π) = cos²(α − π/2) + cos(α + π) sin(α + π/2).

Преобразуем левую часть по формуле приведения: \(\cos(2\alpha+\pi)=-\cos2\alpha\).

Преобразуем правую часть: \(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\), \(\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha\), \(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha\).

Следовательно, правая часть равна \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha\), поскольку \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\).

Левая и правая части равны \(-\cos2\alpha\), значит, тождество доказано.